Wenn man ein Experiment durchführt, wird man selten genau den Wert messen oder berechnen, den man mit einer Tafelwerk-Formel ausgerechnet hat. Das liegt daran, dass jeder menschliche oder maschinelle Experimentator "Fehler" macht bzw. sich manche Fehlerquellen einfach nicht ausschließen lassen: ein gewisses "Rauschen" liegt auf jedem Messwert.
Um das zu verdeutlichen und also zu überzeichnen, stellen wir unten zwei "Freihandexperimente" vor.
Bereits in der Schule (Sekundarstufe I) lernt man daher, dass man ein Experiment mehrfach unter den gleichen "Labor"bedingungen durchführen soll, um dann aus mehreren Messwerten einen Mittelwerten zu bilden.
Mittelwert der Ergebnisse
Mittelwert meint hier das arithmetische Mittel m: Die Summe von allen Messwerten vi dividiert durch die Anzahl i der Messwerte.
| m (vi ) = | v1 + v2 + ... + vi
i |
Das einfachste Beispiel dafür ist ein Notenspiegel nach einer Klassenarbeit, den Euch (hoffentlich) schon manche Grundschullehrkräfte präsentiert haben, damit ihr einschätzen könnt, wo ihr im Vergleich steht.
Frage: Warum ist das eigentlich nicht zulässlich? Also, warum darf man eigentlich - streng mathematisch - aus Zensuren einer Schulklasse keinen Mittelwert bilden?
Tipp: Wenn du die Antwort nicht weißt, lies die Unterseite "FYI: Datentypen".
absoluter Fehler
Um wieviel weicht nun jeder einzelne Wert von diesem Mittelwert ab? Das gibt man als absoluten Fehler an, z.B.:
xabs = |vi - m (vi ) |
relativer Fehler
Um eine Angabe zu relativieren braucht man eine Bezugsgröße, d.i. für uns meistens die Zahl 100 oder die Zahl 1000, der relative Fehler wird daher typischerweise in % oder ‰ angegeben. So kann man auch Ergebnisse verschiedener Teilexperimente leicht vergleichen, auch wenn diese Teilexperimente Messwerte in verschiedenen Einheiten liefern.
Wenn Wissenschaftler den relativen Fehler ihrer Messung angeben, dann ist das die Summe aller absoluten Fehler, die die Apparatur hergibt (nach Fehlerfortpflanzungsgesetz zusammengerechnet), die in % vom Messwert ausgedrückt wird. Ein Wissenschaftler macht ja seine Messung zum ersten Mal, d.h. er misst etwas, für das es einen Tafelwerk-Wert gibt. Daher gibt er als relativen Fehler an, welche Messunsicherheit (Toleranz) sein Messgerät hat:
Bsp.: Messung mit dem Lineal. Skala 1 mm => Messunsicherheit 0.5 mm.
Messen wir die Länge eines Tisches (1700 mm), dann ist 0.5 mm Toleranz weniger als 0.3 Promille des Messwertes. Messen wir aber mit dem gleichen Lineal die Länge eines Fingernagels (1 cm) ist 0.5 mm Toleranz 5 % vom Messwert. So müssen wissenschaftliche Messungen angegeben werden.
Wenn ihr eine Naturkonstante oder Materialkenngröße in der Schule nachgemessen habt, für dies es ja bereits Tafelwerke und Tabellen gibt, könnt Ihr auf die Genauigkeit Eures Experiments (die sicher viel geringer ist als die Präzisionsmessungen der Wissenschaft) schließen, indem ihr euren Messwert mit dem Tabellenwert vergleicht.
Die Aussage des relativen Fehlers einer Messung ist also, um wieviel er von einem Idealwert abweicht. Man könnte z.B. sagen: unsere Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft (20 °C) weicht um 5 % vom Tabellenwert ab (und es ist egal, ob wir sie in km/h oder km/s angeben).
Nun sieht man schon, wie sich der relative Fehler berechnen lässt - nämlich wie bei jeder Prozentrechnung mit einem Dreisatz:
| xrel [%] = | (vRef.-m(vi )) * 100
vReferenzwert |
oder für wissenschaftliche Messungen:
| xrel [%] = | abs.Messunsicherheit * 100
vMesswert |
